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微分学——1.2.2连续

作者：admin 发布时间：November 3, 2014 分类：数学

1、函数的连续性与间断点

（1）函数的连续性

设\(f(x)\)在\(x_{0}\)某个邻域内有定义，则：

若\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}(x)=f(x_{0})\)，则称\(f(x)\)在\(x_{0}\)连续。

（2）函数的间断点

由函数在一点连续的定义可知，函数\(f(x)\)在一点\(x_{0}\)处连续的条件是：

a、\(f(x_{0})\)有定义；

b、\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}(x)\)存在；

c、\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}(x)=f(x_{0})\)。

第一类间断点：\(x_{0}\)是\(f(x)\)的间断点，但\(f(x_{0}^{-})\)及均存在（存在且不相等称为跳跃间断点，存在且相等称为可去间断点。）；

第二类间断点：不是第一类的间断点。

2、初等函数的连续性

（1）基本初等函数

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。

（2）初等函数的连续性

一切初等函数在其定义区间内都是连续的，这里的“定义区间”是指包含在定义域内的区间。

3、闭区间上连续函数的性质

设函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，则：

（1）\(f(x)\)在\([a,b]\)上有界（有界性定理）；

（2）\(f(x)\)在\([a,b]\)上必有最大值和最小值（最大值最小值定理）；

（3）当\(f(a)f(b)<0\)时，在\((a,b)\)内至少有一点\(\xi\)，使得\(f(\xi)=0\)（零点定理）；

（4）对介于\(f(a)=A\)及\(f(b)=B\)之间的任一数值\(C\)，在\((a,b)\)内至少有一点\(\xi\)，使得\(f(\xi)=C\)（介值定理）。

标签: 微分学, 连续