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空间解析几何——1.1.3直线

作者：admin 发布时间：October 14, 2013 分类：数学

1、空间直线方程

一般方程：\(\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D2=0 \end{cases}\)

对称式方程：\(\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}\)

参数式方程：\(\begin{cases}x=x_0+mt\\y=y_0+nt\\z=z_0+pt \end{cases}\)

2、两直线夹角

两直线的方向向量的夹角叫做两直线的夹角（通常指锐角）。设直线\(L_1\)：
\[\frac{x-x_1}{m_1}=\frac{y-y_1}{n_1}=\frac{z-z_1}{p_1}\]
和直线\(L_2\)：
\[\frac{x-x_1}{m_1}=\frac{y-y_1}{n_1}=\frac{z-z_1}{p_1}\]
则\(L_1\)和\(L_2\)的夹角\(\varphi\)可由下式确定：
\[cos\varphi=\frac{\left | \vec{s_1}\cdot\vec{s_2} \right |}{\left | \vec{s_1} \right |\left | \vec{s_2} \right |}=\frac{\left | m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2 \right |}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}\]
\(L_1\)和\(L_2\)互相垂直相当于\（m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2\），

\(L_1\)和\(L_2\)互相平行相当于\(\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{p_1}{p_2}\)。

3、直线与平面的夹角

直线：\(\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}\)

平面：\(Ax+By+Cz+D=0\)

则直线与平面的夹角\(\varphi\)由下式确定：
\[sin\varphi =\frac{\left | Am+Bn+Cp \right |}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{m^2+n^2+p^2}}\]
直线与平面垂直相当于\(\frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{p}\)，

直线与平面平行或直线在平面上相当于\(Am+Bn+Cp=0\)。

4、点到直线的距离

\[d=\frac{\left | \overrightarrow{M_0M}\times\vec{s} \right |}{\left | \vec{s} \right |}\]

【例1.1-11】求过两点\(M_1(3,-2,1)\)和\(M_2(-1,0,2)\)的直线方程。

【例1.1-12】设直线\(L\)的方程为\(\begin{cases}x-y+z=1\\2x+y+z=4 \end{cases}\)，求\(L\)的参数方程。

【例1.1-13】求直线\(L_1\)：\(\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-4}=\frac{z+3}{1}\)和直线\(L_2\)：\(\frac{x}{2}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z}{-1}\)

【例1.1-14】直线\(L\)：\(2x=5y=z-1\)与平面\(\Pi\)：\(4x-2z=5\)的位置关系是（ ）。
（A）直线\(L\)与平面\(\Pi\)平行
（B）直线\(L\)与平面\(\Pi\)垂直
（C）直线\(L\)在平面\(\Pi\)上
（D）直线\(L\)与平面\(\Pi\)相交，但不垂直

【例1.1-15】求点\(P(3,-1,2)\)到直线\(L\)：\(\begin{cases}x+y-z+1=0\\2x-y+z-4=0 \end{cases}\)的距离。

标签: 空间解析几何, 直线